Tenemos una enigma
por Arturo David Vásquez Urdiales.
En su libro de 1994 Black Holes and Time Warps (cuya versión en español, publicada por la editorial Crítica en el año 2000, se tituló Agujeros negros y tiempo curvo), Thorne propone un curioso experimento mental: supongamos que el famoso físico consigue abrir un pequeño agujero de gusano que conecta dos puntos en el espacio como si no estuvieran separados por ninguna distancia.
Thorne toma el agujero de gusano y pone un extremo en su sala de estar, y el otro a bordo de una nave espacial estacionada enfrente de su casa. La esposa de Thorne, Coralee, sube a bordo de la nave espacial, dispuesta a emprender un viaje. Los dos no tienen que decirse adiós, sin embargo, pues no importa lo lejos que viaje Coralee: ambos podrán seguir viéndose a través del agujero de gusano. Incluso pueden tomarse de la mano, como si de una puerta abierta se tratara. Coralee pone en marcha la nave espacial , despega hacia el espacio y viaja durante seis horas a la velocidad de la luz.
A continuación, da la vuelta y regresa a casa a la misma velocidad, doce horas en total. Mientras, Thorne observa a través del agujero de gusano cómo transcurre el viaje, y ve a Coralee regresar de su singladura, aterrizar en el jardín delantero, salir de la nave espacial y encaminarse hacia la casa. Pero cuando Thorne mira por la ventana en su propio mundo, su jardín delantero está vacío: Coralee no ha regresado. Debido a que su mujer ha viajado a la velocidad de la luz, el tiempo se ralentizo para ella, como afirma la relatividad especial; lo que fueron solo doce horas de viaje para Coralee han sido nada menos que diez años para Thorne en la Tierra.
La paradoja es que como Thorne y Coralee pueden cogerse de la mano a través del agujero de gusano, ambos están viajando en el tiempo. Coralee a aterrizado en la Tierra diez años después de marcharse, y se reúne con Thorne diez años mayor. Pero ella también puede llegar a su casa a través del agujero de gusano y encontrar a Thorne, que es solamente doce horas más viejo, como ella. Por su parte Thorne puede cruzar el agujero de gusano y encontrarse a sí mismo diez años en el futuro, o su yo futuro puede retroceder diez años en el pasado. Esta singular propuesta teórica del libro de Thorne está realmente destinada a responder a una pregunta más profunda: ¿prohíben las leyes de la física viajar en el tiempo? De hecho todos viajamos en el tiempo hacia el futuro a una velocidad de un segundo por segundo, pero esa es nuestra percepción.
Fuente: Un Universo Gravitacional
Cómo explicarás y resolverlas la paradoja
Explicación y Resolución de la Paradoja de Thorne
La paradoja de Thorne es un fascinante experimento mental basado en la relatividad especial y la relatividad general, que pone a prueba la coherencia de los viajes en el tiempo utilizando agujeros de gusano. Veamos cómo se genera la paradoja y qué implicaciones tiene.
- ¿Cómo surge la paradoja?
La paradoja aparece porque el agujero de gusano conecta dos puntos en el espacio-tiempo de manera simultánea desde la perspectiva local de sus extremos. Sin embargo, la relatividad especial nos dice que si un objeto (en este caso, Coralee) viaja a velocidades cercanas a la luz, experimentará dilatación temporal: el tiempo para ella transcurre más lento en comparación con alguien en reposo (Thorne en la Tierra).
Después del viaje de 12 horas a la velocidad de la luz, el tiempo en la Tierra habrá avanzado 10 años mientras que para Coralee solo han pasado 12 horas. El problema surge cuando ambos intentan usar el agujero de gusano, que sigue conectado a sus respectivas líneas temporales originales.
- ¿Por qué hay un conflicto temporal?
Si Coralee regresa a la Tierra por la vía normal (sin usar el agujero de gusano), encuentra a Thorne diez años mayor. Sin embargo, si ella usa el agujero de gusano, llegará al otro extremo donde Thorne solo ha envejecido 12 horas. Esto sugiere que existen dos versiones simultáneas de Thorne:
Thorne en el “mundo real”, que ha esperado diez años.
Thorne en el agujero de gusano, que solo ha experimentado 12 horas.
De manera similar, si Thorne cruza el agujero de gusano hacia el futuro, estaría saltándose diez años en su propia línea temporal. Y si su yo futuro entra al agujero de gusano, puede volver al pasado, abriendo la posibilidad de paradojas temporales, como la paradoja de la causalidad (¿qué pasa si se encuentra consigo mismo y cambia algo en su propia historia?).
- ¿Cómo se resuelve esta paradoja?
Existen varias formas de abordar la paradoja sin violar las leyes de la física conocidas:
A. Consistencia de Novikov
La hipótesis de autoconsistencia de Novikov sugiere que la historia no puede cambiar. Es decir, aunque el agujero de gusano permite viajes en el tiempo, cualquier evento que ocurra debe ser consistente con la realidad histórica. En este caso, Thorne y Coralee nunca podrían hacer algo que altere el pasado de manera inconsistente (por ejemplo, evitar el viaje de Coralee en primer lugar).
En esta solución, el agujero de gusano funcionaría solo como una “ventana” hacia el futuro o el pasado, pero sin permitir modificaciones en la línea temporal.
B. Universos paralelos (Interpretación de los mundos múltiples)
Otra posible solución es que al viajar en el tiempo a través del agujero de gusano, Coralee no regresa al mismo universo, sino que entra en una línea temporal alternativa. En este modelo, el agujero de gusano conecta dos realidades distintas en lugar de dos momentos de la misma línea temporal. Esto evitaría paradojas como la de encontrarse con un yo más joven o cambiar eventos pasados.
C. Inestabilidad del agujero de gusano
Según muchos modelos de relatividad general, los agujeros de gusano no son estables. En el momento en que se intenta usarlos para viajar en el tiempo, se generarían fluctuaciones cuánticas o energía negativa que colapsarían el agujero de gusano, impidiendo el viaje y resolviendo la paradoja de manera natural.
Conclusión: ¿Se puede viajar en el tiempo?
La paradoja de Thorne sugiere que, bajo ciertas condiciones teóricas, los agujeros de gusano podrían permitir el viaje en el tiempo. Sin embargo, las leyes físicas parecen tener mecanismos (como la autoconsistencia de Novikov o la inestabilidad de los agujeros de gusano) que impedirían cualquier contradicción causal.
En la práctica, los viajes en el tiempo aún están lejos de ser una realidad comprobada, pero la paradoja de Thorne nos muestra los fascinantes desafíos que enfrentamos al intentar reconciliar la relatividad, la causalidad y la mecánica cuántica.
Para explicar y resolver la Paradoja de Thorne de manera rigurosa, abordaremos los siguientes puntos:
- Principios físicos involucrados: Relatividad especial y general.
- Dilatación temporal y el tiempo propio de Coralee.
- Estructura matemática de un agujero de gusano.
- Cómo surgen las paradojas temporales y posibles soluciones matemáticas.
- Principios físicos involucrados
La paradoja de Thorne se basa en dos conceptos de la relatividad de Einstein:
Relatividad Especial: Establece que el tiempo transcurre de manera diferente para observadores en movimiento relativo. La dilatación temporal se expresa como:
\Delta t’ = \frac{\Delta t}{\gamma}
donde:
es el tiempo medido por el observador en movimiento (Coralee).
es el tiempo medido en el sistema en reposo (Thorne en la Tierra).
es el factor de Lorentz.
es la velocidad de la nave.
es la velocidad de la luz.
Relatividad General: Predice que los agujeros de gusano podrían conectar diferentes puntos en el espacio-tiempo.
La métrica general de un agujero de gusano de Morris-Thorne se expresa como:
ds^2 = -c^2 dt^2 + dl^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)
donde:
es el intervalo espacio-temporal.
es la separación entre los extremos del agujero de gusano.
representan coordenadas esféricas.
- Dilatación temporal de Coralee
Para entender por qué Coralee experimenta solo 12 horas mientras que Thorne envejece 10 años, usamos la fórmula de dilatación temporal.
Dado que Coralee viaja a la velocidad de la luz , el factor de Lorentz se aproxima a infinito, lo que indica que el tiempo transcurre mucho más lento para ella.
Si consideramos una velocidad muy cercana a la luz, como , el factor de Lorentz es:
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 – (0.999)^2}} \approx 22.4
Si en la nave transcurren 12 horas ( horas), el tiempo en la Tierra es:
\Delta t = \gamma \cdot \Delta t’ = (22.4)(12) = 268.8 \text{ horas} \approx 10 \text{ años}
Por lo tanto, mientras que Coralee solo experimenta 12 horas, en la Tierra han pasado aproximadamente 10 años.
- Matemática del agujero de gusano
El agujero de gusano permite que Coralee y Thorne se vean en todo momento, ya que su estructura mantiene un “atajo” a través del espacio-tiempo.
La métrica de un agujero de gusano en coordenadas esféricas es:
ds^2 = -c^2 dt^2 + dl^2 + r^2 d\Omega^2
Donde:
es el intervalo espacio-temporal.
representa la distancia a través del túnel.
es el elemento angular de la esfera.
La existencia de este túnel significa que para Coralee, aunque en la Tierra pasaron 10 años, el extremo del agujero de gusano sigue conectado al Thorne que solo envejeció 12 horas.
Es decir:
t_{\text{agujero}} = t_{\text{Coralee}}
Mientras que:
t_{\text{Tierra}} = \gamma t_{\text{Coralee}}
Dado que los dos extremos del agujero de gusano están sincronizados con sus respectivos viajeros, esto crea la paradoja de que existen dos versiones de Thorne y dos versiones de Coralee en el mismo universo.
- Soluciones Matemáticas a la Paradoja
A. Consistencia de Novikov
La hipótesis de autoconsistencia de Novikov establece que cualquier viaje en el tiempo debe ser autoconsistente con la historia ya existente. Matemáticamente, esto se expresa como:
\frac{dX}{dt} = f(X)
Donde:
representa el estado del universo.
describe cómo evoluciona en el tiempo.
Si un viajero intenta cambiar el pasado, esto crearía una contradicción. En cambio, el universo siempre evoluciona de manera que el viaje en el tiempo ya estaba predestinado.
Esto implica que Coralee no puede evitar su viaje, y que Thorne no puede encontrarse a sí mismo en el futuro sin seguir las reglas del universo.
B. Universos Paralelos (Mundos Múltiples)
En la interpretación de los universos múltiples, cada vez que se abre el agujero de gusano, se forma una bifurcación en el espacio-tiempo. Es decir:
U_{0} \rightarrow U_{1} \rightarrow U_{2}
Donde:
es el universo antes del viaje de Coralee.
es el universo donde Coralee regresa por el agujero de gusano.
es el universo donde Coralee regresa de manera normal y han pasado 10 años.
Matemáticamente, esto sugiere que el agujero de gusano no conecta dos tiempos del mismo universo, sino dos universos diferentes, evitando así paradojas.
C. Inestabilidad del Agujero de Gusano
La ecuación de energía negativa para mantener un agujero de gusano estable es:
T_{\mu\nu} U^\mu U^\nu < 0
Donde:
es el tensor de energía-momento.
es el vector de cuatro velocidades.
Esta desigualdad implica que el agujero de gusano requiere materia exótica con energía negativa para permanecer abierto. Sin esta energía, el agujero colapsaría, destruyendo cualquier intento de viajar en el tiempo.
Conclusión
La Paradoja de Thorne es un problema fascinante que desafía nuestra comprensión del tiempo. Sin embargo, varias soluciones matemáticas pueden resolverla:
- La hipótesis de Novikov impide paradojas causales al hacer que todo sea autoconsistente.
- Los mundos múltiples evitan paradojas creando universos paralelos en cada viaje en el tiempo.
- La inestabilidad del agujero de gusano impide el viaje en el tiempo al hacer que colapse antes de su uso.
En conclusión, aunque la relatividad permite el viaje en el tiempo en teoría, en la práctica, la naturaleza parece protegerse a sí misma contra las paradojas.
